• Wat is een nummersysteem?
• Niet-positionele nummersystemen
• Semi-positionele nummersystemen
• Positienummersystemen

We leggen uit wat een nummeringssysteem is en we bestuderen de kenmerken van elk type systeem, aan de hand van voorbeelden uit verschillende culturen.

Elk getallenstelsel bevat een bepaalde en eindige reeks symbolen.

Wat is een nummersysteem?

Een getalsysteem is een verzameling symbolen en regels waarmee het aantal objecten in een getal kan worden uitgedrukt. set, dat wil zeggen, waardoor alle geldige getallen kunnen worden weergegeven. Dit betekent dat elk getallenstelsel een gegeven en eindige reeks symbolen bevat, plus een gegeven en eindige reeks regels om ze te combineren.

Nummeringssystemen waren een van de belangrijkste menselijke uitvindingen in de oudheid, en elk van de oude beschavingen had zijn eigen systeem, gerelateerd aan zijn manier van kijken naar de wereld, dat wil zeggen, met zijn cultuur.

In grote lijnen kunnen nummeringsystemen in drie verschillende typen worden ingedeeld:

• niet-positionele systemen. Dit zijn die waarin elk symbool overeenkomt met een vaste waarde, ongeacht de positie die het inneemt binnen het nummer (als het eerst, aan één kant of daarna verschijnt).
• Semi-positionele systemen. Het zijn die waarbij de waarde van een symbool de neiging heeft vast te staan, maar kan worden gewijzigd in bepaalde verschijningssituaties (hoewel ze eerder uitzonderingen zijn). Het wordt opgevat als een intermediair systeem tussen het positionele en het niet-positionele.
• Positionele of gewogen systemen.Het zijn die waarin de waarde van een symbool wordt bepaald door zowel zijn eigen uitdrukking als door de plaats die het binnen het getal inneemt, waardoor het meer of minder waard kan zijn of verschillende waarden kan uitdrukken, afhankelijk van waar het zich bevindt.

Het is ook mogelijk om nummeringssystemen te classificeren op basis van het nummer dat ze gebruiken als basis voor hun berekeningen. Zo is het huidige westerse systeem decimaal (aangezien de basis 10 is), terwijl het Sumerische nummeringssysteem sexagesimaal is (de basis was 60).

Niet-positionele nummersystemen

Niet-positionele systemen waren gemakkelijk te leren, maar vereisten veel symbolen.

Niet-positionele nummersystemen waren de eerste die bestonden en hadden de meest primitieve basis: vingers, knopen aan een touw of andere opnamemethoden voor het coördineren van nummerreeksen. Als u bijvoorbeeld op de vingers van één hand telt, kunt u op hele handen rekenen.

In deze systemen hebben de cijfers hun eigen waarde, ongeacht hun plaats in de keten van symbolen, en om nieuwe symbolen te vormen, moeten de waarden van de symbolen worden opgeteld (om deze reden worden ze ook wel additieve systemen genoemd). Deze systemen waren eenvoudig, gemakkelijk te leren, maar er waren veel symbolen nodig om grote hoeveelheden uit te drukken, dus ze waren niet helemaal efficiënt.

Voorbeelden van dit soort systemen zijn:

• Het Egyptische getallenstelsel. Ontstond rond het derde millennium voor Christus. C., was gebaseerd op de tien en gebruikte hiërogliefen verschillend voor elke volgorde van eenheden: één voor de eenheid, één voor de tien, één voor de honderd en zo verder tot het miljoen.
• Het Azteekse nummersysteem. Typisch voor het Mexica-rijk, had het 20 als basis en gebruikte het specifieke objecten als symbolen: een vlag was gelijk aan 20 eenheden, een veer of een paar haren gelijk aan 400, een tas of zak was gelijk aan 8.000, onder andere.
• Het Griekse getallenstelsel.Met name de Ionische, werd uitgevonden en verspreid in de oostelijke Middellandse Zee vanaf de vierde eeuw voor Christus. C., ter vervanging van het reeds bestaande acrophonic systeem. Het was een alfabetisch systeem, waarbij letters werden gebruikt om getallen aan te duiden, waarbij de letter overeenkwam met zijn kardinale plaats in het alfabet (A=1, B=2). Zo kreeg elk cijfer van 1 tot 9 een letter toegewezen, elke tien een andere specifieke letter, elke honderd een andere, totdat 27 letters werden gebruikt: de 24 van het Griekse alfabet en drie speciale tekens.

Semi-positionele nummersystemen

Semi-positionele systemen beantwoordden aan de behoeften van een meer ontwikkelde economie.

Semi-positionele nummersystemen combineren het idee van de vaste waarde van elk symbool met bepaalde positioneringsregels, zodat ze kunnen worden opgevat als een hybride of gemengd systeem tussen positioneel en niet-positioneel. Ze beschikken over faciliteiten om grote getallen weer te geven, de volgorde van getallen te beheren en formele procedures zoals vermenigvuldiging, dus ze vertegenwoordigen een stap voorwaarts in complexiteit in vergelijking met niet-positionele systemen.

De opkomst van semi-positionele systemen kan grotendeels worden opgevat als de overgang naar een efficiënter nummeringsmodel dat zou kunnen voldoen aan de complexere behoeften van een meer ontwikkelde economie, zoals die van de grote rijken uit de klassieke oudheid.

Voorbeelden van dit nummeringsmodel zijn:

• Het Romeinse cijfersysteem. Gemaakt in de Romeinse oudheid, overleeft het tot op de dag van vandaag. In dit systeem werden de cijfers gebouwd met behulp van bepaalde hoofdletters van het Latijnse alfabet (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, enz.), waarvan de waarde werd vastgesteld en uitgevoerd op basis van optellen en aftrekken, afhankelijk van waar het symbool verschijnt.Als het symbool zich links van een symbool van gelijke of lagere waarde bevond (zoals in II = 2 of XI = 11), moeten de totale waarden worden opgeteld; terwijl als het symbool zich links van een symbool met een hogere waarde bevond (zoals in IX = 9, of IV = 4), ze moesten worden afgetrokken.
• Het klassieke Chinese getallenstelsel. De oorsprong gaat terug tot ongeveer 1500 voor Christus. C. en is een zeer strikt systeem van verticale weergave van getallen door middel van hun eigen symbolen, waarbij twee verschillende systemen worden gecombineerd: een voor alledaagse en alledaagse teksten en een andere voor commerciële of financiële gegevens. Het was een decimaal systeem met negen verschillende tekens die naast elkaar konden worden geplaatst om hun waarden toe te voegen, soms door een speciaal teken in te voegen of de locatie van de tekens af te wisselen om een ​​specifieke bewerking aan te geven.

Positienummersystemen

Het huidige nummeringssysteem komt uit het Hindoe-Arabische systeem.

Positienummersystemen zijn de meest complexe en efficiënte van de drie soorten nummersystemen die er zijn. De combinatie van de juiste waarde van de symbolen en de waarde die door hun positie wordt toegekend, stelt hen in staat zeer hoge cijfers te bouwen met zeer weinig tekens, waarbij de waarde van elk symbool wordt toegevoegd en/of vermenigvuldigd, waardoor ze meer veelzijdige en moderne systemen worden.

Over het algemeen gebruiken positionele systemen een vaste set symbolen en door hun combinatie worden de rest van de mogelijke figuren tot in het oneindige geproduceerd zonder de noodzaak om nieuwe tekens te creëren, maar eerder door nieuwe kolommen met symbolen in te voeren. Dit houdt natuurlijk in dat een fout in de string ook de totale waarde van het getal verandert.

De eerste voorbeelden van dit soort systemen ontstonden binnen de grote rijken of de meest veeleisende oude culturen op cultureel en commercieel gebied, zoals het Babylonische rijk van het tweede millennium voor Christus. C. Voorbeelden van dit type nummering zijn:

• Het moderne decimale stelsel.Met alleen de cijfers van 0 tot 9, kun je elk mogelijk getal bouwen, kolommen toevoegen waarvan de waarde wordt toegevoegd als je naar rechts gaat, met de tien als basis. Dus door symbolen aan 1 toe te voegen, kunnen we 10, 195, 1958 of 19589 bouwen. Het is belangrijk om te verduidelijken dat de gebruikte symbolen afkomstig zijn van Hindoe-Arabische cijfers.
• Het hindoe-Arabische getallenstelsel. Uitgevonden door de oude wijzen van India en later geërfd door de islamitische Arabieren, bereikte het het Westen via Al-Andalus en verving het uiteindelijk de Romeinse cijfers traditioneel. In dit systeem, vergelijkbaar met de moderne decimale, worden eenheden van 0 tot 9 weergegeven door specifieke glyphs, die de waarde van elk voorstelden door middel van lijnen en hoeken. Het werkingssysteem van dit systeem is in principe hetzelfde als het moderne westerse decimale systeem.
• Het Maya-getalsysteem. Het werd gemaakt om de tijd te meten, in plaats van om wiskundige transacties uit te voeren, en de basis was vigesimaal en de symbolen komen overeen met de kalender van deze pre-Columbiaanse beschaving. De figuren, 20 bij 20 gegroepeerd, worden weergegeven met basistekens (strepen, stippen en slakken of schelpen); en om naar de volgende partituur te gaan, wordt een punt toegevoegd op het volgende schrijfniveau. tevens de Maya's zij behoorden tot de eersten die het getal nul gebruikten.