- Wat is het cartesiaanse vlak?
- Geschiedenis van het cartesiaanse vlak
- Waar dient het cartesiaanse vlak voor?
- Kwadranten van het cartesiaanse vlak
- Elementen van het cartesiaanse vlak
- Functies in een cartesiaans vlak
We leggen uit wat het Cartesiaanse vlak is, hoe het is gemaakt, zijn kwadranten en elementen. Ook hoe functies worden weergegeven.
Wat is het cartesiaanse vlak?
Een Cartesiaans vlak of Cartesiaans systeem heet a diagram van orthogonale coördinaten die worden gebruikt voor geometrische bewerkingen in de Euclidische ruimte (dat wil zeggen, geometrische ruimte die voldoet aan de eisen die in de oudheid door Euclides zijn geformuleerd).
Gebruikt om grafisch weer te geven wiskundige functies en vergelijkingen van analytische meetkunde. Het stelt u ook in staat om relaties van beweging en fysieke positie.
Het is een tweedimensionaal systeem, opgebouwd uit twee assen die zich uitstrekken van de ene oorsprong tot in het oneindige (die een kruis vormen). Deze assen kruisen elkaar in een enkel punt (wat het oorsprongspunt van de coördinaat of 0,0-punt aangeeft).
Op elke as is een reeks markeringen getekend van lengte, die dienen als referentie om punten te lokaliseren, figuren te tekenen of bewerkingen weer te geven wiskunde. Met andere woorden, het is een geometrisch hulpmiddel om dit laatste grafisch in verband te brengen.
Het Cartesiaanse vlak dankt zijn naam aan de Franse filosoof René Descartes (1596-1650), schepper van het veld van de analytische meetkunde.
Geschiedenis van het cartesiaanse vlak
Het Cartesiaanse vlak was een uitvinding van René Descartes, zoals we al zeiden, filosoof centraal in de traditie van het Westen. Zijn filosofisch perspectief was altijd gebaseerd op de zoektocht naar de oorsprong van de kennis.
Als onderdeel van die zoektocht deed hij uitgebreid onderzoek naar analytische meetkunde, waarvan hij zichzelf de vader en oprichter beschouwt. Hij slaagde erin om analytische meetkunde wiskundig te vertalen naar het tweedimensionale vlak van vlakke meetkunde en gaf aanleiding tot het coördinatensysteem dat we vandaag de dag nog steeds gebruiken en bestuderen.
Waar dient het cartesiaanse vlak voor?
Het Cartesiaanse vlak is een diagram waarin we punten kunnen lokaliseren op basis van hun respectievelijke coördinaten op elke as, net zoals een GPS dat doet op de wereldbol. Van daaruit is het ook mogelijk om de beweging grafisch weer te geven (de verplaatsing van het ene punt naar het andere in het coördinatensysteem).
Bovendien kunt u hiermee traceren geometrische figuren tweedimensionaal van lijnen en krommen. Deze cijfers komen overeen met bepaalde rekenkundige bewerkingen, zoals vergelijkingen, eenvoudige bewerkingen, enz.
Er zijn twee manieren om deze bewerkingen op te lossen: wiskundig en vervolgens in een grafiek, of we kunnen een grafische oplossing vinden, aangezien er een duidelijke overeenkomst is tussen wat wordt geïllustreerd in het Cartesiaanse vlak en wat wordt uitgedrukt in wiskundige symbolen.
In het coördinatensysteem hebben we twee waarden nodig om de punten te lokaliseren: de eerste komt overeen met de horizontale X-as en de tweede met de verticale Y-as, die tussen haakjes worden aangegeven en worden gescheiden door een komma: het is bijvoorbeeld het punt waar beide lijnen kruisen elkaar.
Deze waarden kunnen positief of negatief zijn, afhankelijk van hun locatie ten opzichte van de lijnen waaruit het vlak bestaat.
Kwadranten van het cartesiaanse vlak
Zoals we hebben gezien, wordt het Cartesiaanse vlak gevormd door de kruising van twee coördinaatassen, dat wil zeggen twee oneindige rechte lijnen, geïdentificeerd met de letters x (horizontaal) en anderzijds ja (verticaal). Als we ze beschouwen, zullen we zien dat ze een soort kruis vormen, waardoor het vlak in vier kwadranten wordt verdeeld, namelijk:
- Kwadrant I. In het gebied rechtsboven, waar positieve waarden kunnen worden weergegeven op elke coördinatenas. Bijvoorbeeld: .
- Kwadrant II. In het gebied linksboven, waar positieve waarden op de as kunnen worden weergegeven ja maar negatief in de x. Bijvoorbeeld: (-1, 1).
- Kwadrant III. In het gebied linksonder, waar op beide assen negatieve waarden kunnen worden weergegeven. Bijvoorbeeld: (-1, -1).
- Kwadrant IV. In het gebied rechtsonder, waar negatieve waarden op de as kunnen worden weergegeven ja maar positief in de x. Bijvoorbeeld: (1, -1).
Elementen van het cartesiaanse vlak
Het Cartesiaanse vlak bestaat, zoals we al weten, uit twee loodrechte assen: de ordinaat (as ja) en de abscis (as x). Beide lijnen strekken zich uit tot in het oneindige, zowel in hun positieve als negatieve waarden. Het enige kruispunt tussen de twee wordt de oorsprong (0,0 coördinaten) genoemd.
Vanaf de oorsprong wordt elke as gemarkeerd met waarden uitgedrukt in hele getallen. Het snijpunt van twee willekeurige punten wordt een punt genoemd. Elk punt wordt uitgedrukt in zijn respectievelijke coördinaten, waarbij altijd eerst de abscis wordt gezegd en dan de ordinaat. Door twee punten met elkaar te verbinden, kun je een lijn bouwen, en met meerdere lijnen een figuur.
Functies in een cartesiaans vlak
Functies kunnen grafisch worden uitgedrukt op het Cartesiaanse vlak.Wiskundige functies kunnen grafisch worden uitgedrukt op een Cartesiaans vlak, zolang we de relatie tussen een variabele maar uitdrukken x en een variabele ja zodat het kan worden opgelost.
Als we bijvoorbeeld een functie hebben die stelt dat de waarde van ja zal 4 zijn wanneer x Laat 2 zijn, we kunnen zeggen dat we een uitdrukbare functie hebben als deze: y = 2x. De functie geeft de relatie tussen beide assen aan en maakt het mogelijk om waarde te geven aan een variabele die de waarde van de andere kent.
Bijvoorbeeld als x = 1, dan y = 2. Aan de andere kant, als x = 2, dan y = 4, als x = 3, dan y = 6, enz. Door al die punten in het coördinatensysteem te vinden, krijgen we een rechte lijn, aangezien de relatie tussen beide assen continu en stabiel, voorspelbaar is. Als we de rechte lijn naar oneindig voortzetten, dan weten we wat de waarde is van x in ieder geval van ja.
Hetzelfde logica Het is van toepassing op andere soorten functies, meer complexe, die gebogen lijnen, parabolen, geometrische figuren of onderbroken lijnen opleveren, afhankelijk van de wiskundige relatie die in de functie wordt uitgedrukt. De logica blijft echter hetzelfde: druk de functie grafisch uit op basis van het toekennen van waarden aan de variabelen en het oplossen van de vergelijking.