- Wat is geometrie?
- Geschiedenis van de geometrie
- Voorwerp van de studie van de meetkunde
- Typen geometrie
We leggen uit wat geometrie is, de geschiedenis en het object van studie. Daarnaast de kenmerken van elk type geometrie.
Wat is geometrie?
Geometrie (uit het Grieks geo-, "Land", en meter, “Meting”) is een van de oudste takken van de wiskunde, gewijd aan de studie van de vorm van individuele objecten, de ruimtelijke relatie tussen hen en de eigenschappen van de ruimte die hen omringt.
Hoewel deze discipline in het begin gehoorzaamde, zoals de naam al aangeeft, de meting in de meest praktische zin, na verloop van tijd de de mensheid hij begreep dat zelfs de meest complexe abstracties en representaties in geometrische termen kunnen worden uitgedrukt.
Zo ontstonden zijn talrijke takken, uit de hand van wiskundige analyse en andere vormen van berekening, vooral die welke geometrische representatie verbinden met numerieke en algebraïsche wiskundige uitdrukkingen.
Geometrie is een fundamentele tak van de wiskunde, waarop tal van disciplines zijn gebaseerd (zoals de technische tekening of bezit architectuur) en dient als aanvulling op vele andere (zoals fysiek, de mechanica, de astronomie, enzovoort.). Bovendien heeft het geleid tot tal van artefacten, van het kompas en de pantograaf tot het global positioning system (GPS).
Geschiedenis van de geometrie
Geometrie vindt zijn oorsprong praktisch in de eerste menselijke beschavingen. De oude Babyloniërs waren de uitvinders van het wiel en dus van de geometrie van de cirkels. Om deze reden waren ze waarschijnlijk de eersten die het oneindige potentieel van meetkundig onderzoek herkenden, dat ze al snel in de astronomie toepasten.
De oude Egyptenaren deden hetzelfde, die het genoeg cultiveerden om het toe te passen in hun majestueuze architecturale werken, aangezien in die tijd geometrie en rekenkunde waren Wetenschappen bij uitstek praktisch.
Veel Griekse historici, zoals Herodotus (ca. 484-ca. 425 v. Chr.), Diodorus (ca. 90 v. Chr. - ca. 30 v. Chr.) en Strabo (ca. 63 v. Chr. - ca. 24 n. Chr.) erkenden het belang van de Egyptische geometrische erfenis , en werden beschouwd als de makers van de discipline. Het waren echter de oude Grieken die de meetkunde haar formele aspect gaven, dankzij hun geavanceerde filosofische model.
Van bijzonder belang was de wiskundige en meetkundige Euclides (ca. 325 - ca. 265 v. Chr.), erkend als de "vader van de geometrie", die via zijn beroemde werk het eerste geometrische systeem voorstelde om resultaten te controleren. De elementen, gecomponeerd rond het jaar 300 a. C. in Alexandrië. Daar worden voor het eerst de verschillen tussen het vliegtuig verkondigd (tweedimensionaal) en de ruimte (driedimensionaal).
Andere belangrijke bijdragen aan de meetkunde van die tijd waren die van Archimedes (ca. 287 - ca. 212 v.Chr.) en Apollonius van Perge (ca. 262 - ca. 190 v.Chr.). In de daaropvolgende eeuwen verplaatste de ontwikkeling van de wiskunde zich echter naar het Oosten (in het bijzonder India en de moslimwereld), waar meetkunde werd ontwikkeld samen met algebra en de trigonometrie, ze te koppelen met de astrologie en astronomie.
Zo keerde de belangstelling voor de discipline pas in het Westen terug naar het Westen Renaissance Europeaan, waarin veel nieuwe namen aan zijn studie werden toegevoegd, waardoor de projectieve meetkunde en vooral de cartesiaanse meetkunde ontstonden of analytische meetkunde, vrucht van het werk van de Franse filosoof René Descartes (1596-1650), de drager van een nieuwe meetkundige onderzoeksmethode die een revolutie teweegbracht in dit kennisgebied en het moderniseerde.
Vanaf dat moment vond moderne meetkunde plaats, door de hand van grote geleerden zoals de Duitser Carl Friedrich Gauss (1777-1855), de Rus Nikolái Lobachevski (1792-1856), de Hongaar János Bolyai (1802-1860), onder vele anderen, die erin slaagden af te wijken van de klassieke axioma's van Euclides en een nieuw vakgebied ontdekten: niet-euclidische meetkunde.
Voorwerp van de studie van de meetkunde
Geometrie werkt zowel in het tweedimensionale als het driedimensionale.Geometrie houdt zich bezig met de eigenschappen van ruimte en in het bijzonder met vormen en figuren die het bewonen, ofwel tweedimensionaal (vlak) of driedimensionaal (ruimte), zoals punten, lijnen, vlakken, veelhoeken, veelvlakken, enzovoorts. Dit soort objecten wordt begrepen in termen van idealiseringen, dat wil zeggen van mentale projecties van de ruimte, om hun conclusies al dan niet over te dragen naar de wereld van het concrete.
Typen geometrie
Geometrie heeft veel verschillende takken en de classificatie ervan beantwoordt over het algemeen aan de relatie die het aangaat met de vijf basispostulaten van Euclides, waarvan er slechts vier op grote schaal zijn aangetoond sinds de oudheid. De vijfde moest daarentegen worden aangepast om verschillende families van geometrieën te laten ontstaan.
We moeten dus onderscheid maken tussen:
Absolute geometrie, een die wordt beheerst door de eerste vier postulaten van Euclides.
Euclidische meetkunde, een die ook het vijfde Euclidische postulaat als axioma aanvaardt, wat op zijn beurt aanleiding geeft tot twee varianten: de geometrie van het vlak (tweedimensionaal) en de geometrie van de ruimte (driedimensionaal), volgens de oude Griekse classificatie .
Klassieke meetkunde, een waarin de resultaten van Euclidische meetkunde worden verzameld.
De niet-euclidische meetkunde, die in de 19e eeuw opkwam, is er een die de verschillende meetkundige systemen samenbrengt die ver verwijderd zijn van het vijfde postulaat van Euclides, waarbij echter de eerste vier of enkele ervan worden geaccepteerd. Onder hen zijn:
- Elliptische of Riemann-meetkunde, die de eerste vier postulaten van Euclides gehoorzaamt en een model van constante en positieve kromming presenteert.
- Hyperbolische of lobachevski-geometrie, die alleen de eerste vier postulaten van Euclides gehoorzaamt en een model van constante en negatieve kromming presenteert.
- Sferische geometrie, opgevat als de geometrie van het tweedimensionale oppervlak van een bol (in plaats van een recht vlak), is een eenvoudiger model van elliptische geometrie.
- Eindige meetkunde, waarvan het systeem gehoorzaamt aan een beperkt aantal punten (in tegenstelling tot de oneindige meetkunde van Euclides), en waarvan de modellen alleen van toepassing zijn in een eindig vlak. Er zijn twee soorten eindige geometrieën: affiene en projectieve.